Закон всемирного тяготения,И.Ньютон.

Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньютона (Зако́н всемирного тяготе́ния Ньютона) — закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики. Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года. Он гласит, что сила ${\displaystyle F}$ гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$, разделёнными расстоянием ${\displaystyle r}$, пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними — то есть

$${\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over r^{2}}}$$

Здесь ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, равная 6,67408(31)·10⁻¹¹ м³/(кг·с²)^[1].

В ньютоновской теории каждое массивное тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, называемое гравитационным полем. Это поле потенциально.

Гравитационное взаимодействие в теории Ньютона распространяется мгновенно, так как сила тяготения зависит только от взаимного расположения притягивающихся тел в данный момент времени. Также для ньютоновских гравитационных сил справедлив принцип суперпозиции: сила тяготения, действующая на частицу со стороны нескольких других частиц, равна векторной сумме сил притяжения со стороны каждой частицы. Сила тяготения сообщает всем телам одинаковое ускорение, независимо от массы, химического состава и других свойств тел (принцип эквивалентности)^[2].

В случае, если поле создаётся расположенной в начале координат точечной массой ${\displaystyle M}$, функция гравитационного потенциала определяется формулой:

${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=-G{\frac {M}{r}}}$,

при этом потенциал на бесконечности принят равным нулю.

В общем случае, когда плотность вещества ${\displaystyle \rho }$ распределена произвольно, ${\displaystyle \varphi }$ удовлетворяет уравнению Пуассона:

${\displaystyle \Delta \varphi ({\vec {r}})=-4\pi G\rho ({\vec {r}})}$.

Решение данного уравнения записывается в виде:

${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })dV^{\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}+C}$.

Здесь ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, ${\displaystyle {\vec {r}}^{\prime }}$ — радиус-вектор элемента объёма ${\displaystyle dV^{\prime }}$ c плотностью вещества ${\displaystyle \rho ({\vec {r}}^{\prime })}$, а интегрирование охватывает все такие элементы; ${\displaystyle C}$ — произвольная постоянная.

Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой ${\displaystyle m}$, связана с потенциалом формулой:

${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-m\nabla \varphi ({\vec {r}})}$.

Если поле создаётся точечной массой ${\displaystyle M}$, расположенной в начале координат, то на точку массой ${\displaystyle m}$ действует сила

${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-G{\frac {mM}{r^{3}}}\cdot {\vec {r}}}$.

Величина этой силы зависит только от расстояния ${\displaystyle r}$ между массами, но не от направления радиус-вектора ${\displaystyle {\vec {r}}}$ (см. формулу в преамбуле).

Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.